JUDUL MATERI
Banyak siswa menganggap kombinatorika adalah bab paling memusingkan karena rumusnya sedikit tapi logika soalnya bisa diputar-putar tanpa batas. Padahal, kombinatorika adalah seni berhitung tanpa benar-benar menghitung. Di level TKA dan Olimpiade, pembuat soal tidak ingin kamu mendaftar probabilitas sampai tanganmu keriting. Mereka ingin melihat apakah nalurimu bisa membongkar kasus raksasa menjadi potongan-potongan logika yang sederhana.
ISI MATERI
Nyawa utama dari materi ini bertumpu pada kemampuanmu membedakan kapan urutan itu penting dan kapan urutan itu bisa diabaikan. Mari kita bangun instingmu dengan analogi membumi.
Konsep 1: Permutasi vs Kombinasi (Password vs Jus Buah)
Kapan kita pakai Permutasi (P) dan kapan Kombinasi (C)? Bayangkan kamu sedang membuat Password PIN HP dari angka 1, 2, dan 3. Apakah PIN "123" sama dengan "321"? Tentu berbeda! Karena urutan sangat penting, ini adalah wilayah Permutasi.
Sekarang bayangkan kamu membuat Jus Buah campuran dari Apel, Mangga, dan Pisang. Apakah "Jus Apel-Mangga-Pisang" berbeda rasanya dengan "Jus Pisang-Apel-Mangga"? Sama saja! Karena urutan tidak penting, ini adalah wilayah Kombinasi.
Konsep 2: Prinsip Bintang dan Palang (Level Olimpiade)
Bagaimana jika kamu diminta membagikan 10 permen identik kepada 3 anak, dan ada anak yang boleh tidak dapat permen sama sekali? Kamu tidak bisa pakai kombinasi biasa. Kita gunakan metode Stars and Bars. Bayangkan 10 permen sebagai 10 bintang, dan kita butuh 2 palang (garis batas) untuk membaginya ke dalam 3 ruang (anak). Rumus ajaibnya adalah memadukan benda identik dengan batas kelompoknya.
KUMPULAN RUMUS PENTING
| 1. Permutasi (Urutan Penting) | Memilih r dari n objek: \(P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} \) Susunan melingkar (Siklis): \((n-1)! \) |
| 2. Kombinasi (Urutan Bebas) | Memilih tim r dari n objek: \(C_r^n = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) |
| 3. Permutasi Unsur Sama | Menyusun kata seperti "MATEMATIKA": \(\frac{n!}{k_1! \times k_2! \times \dots} \) |
| 4. Stars and Bars (Olimpiade) | Membagikan n benda identik ke k wadah (boleh kosong): \(C_{k-1}^{n+k-1} \) |
TIPS & TRIK CARA CEPAT
Jika di dalam soal terdapat syarat "A dan B harus selalu duduk berdampingan", ikat mereka berdua menjadi 1 blok raksasa! Hitung blok ini sebagai 1 entitas tunggal. Setelah hasil akhirnya didapat, jangan lupa kalikan dengan permutasi internal di dalam blok tersebut (misal dikali 2! karena A dan B bisa bertukar posisi jadi B dan A).
Kapanpun kamu melihat soal dengan kalimat "peluang terpilih MINIMAL 1 orang wanita", JANGAN pernah menghitung skenario 1 wanita, 2 wanita, 3 wanita lalu dijumlahkan. Itu menghabiskan waktu! Langsung hitung kebalikannya: Total Semua Kemungkinan DIKURANGI Kemungkinan TIDAK ADA wanita sama sekali (Pria Semua). Logika terbalik ini menyelamatkan ribuan peserta Olimpiade.
LATIHAN SOAL (5 Soal)
Dari 8 orang pengurus kelas, akan dipilih seorang Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Jika tidak boleh ada jabatan rangkap, banyak susunan pengurus yang mungkin terbentuk adalah...
A. 24
B. 56
C. 120
D. 336
E. 512
Berapa banyak kata berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pembentuk kata "BEELAJAR"?
A. 5040
B. 10080
C. 20160
D. 40320
E. 80640
Terdapat 4 pasang suami-istri yang akan makan malam di sebuah meja bundar. Jika setiap pasangan suami-istri mewajibkan diri untuk duduk berdampingan, berapakah banyak posisi duduk yang mungkin terjadi?
A. 48
B. 96
C. 144
D. 384
E. 768
Sebuah delegasi yang terdiri dari 3 orang akan dipilih dari kelompok yang berisi 5 pria dan 4 wanita. Berapakah banyak cara memilih susunan delegasi tersebut jika harus terdapat minimal 1 wanita di dalamnya?
A. 34
B. 64
C. 74
D. 84
E. 120
Budi memiliki 15 buah permen identik yang akan dibagikan kepada 3 adiknya. Adik pertama meminta minimal 2 permen, adik kedua meminta minimal 3 permen, dan adik ketiga minimal 1 permen. Berapa banyak cara Budi membagikan seluruh permen tersebut agar permintaan mereka terpenuhi?
A. 36
B. 45
C. 55
D. 66
E. 78
PEMBAHASAN (1 SOAL TERAKHIR)
Kita akan membedah Soal 5 secara tuntas. Ini adalah soal klasik Olimpiade yang menggunakan teknik kombinatorika Stars and Bars bersyarat. Jika kamu mencoba mendaftar kemungkinannya manual, waktu tesmu akan habis tak tersisa.
Membagikan 15 permen ke 3 anak sama artinya dengan mencari solusi bilangan bulat dari:
\(x + y + z = 15 \)
Dengan syarat mutlak dari adik-adik Budi:
\(x \ge 2 \)
\(y \ge 3 \)
\(z \ge 1 \)
Rumus ajaib Stars and Bars hanya bisa bekerja jika persyaratannya adalah \(\ge 0 \) (boleh kosong). Agar kita bisa memakai rumus tersebut, kita bagikan dulu permennya sesuai jatah minimal mereka sejak awal!
Berikan 2 permen untuk anak pertama.
Berikan 3 permen untuk anak kedua.
Berikan 1 permen untuk anak ketiga.
Total permen yang SUDAH dibagikan = 2 + 3 + 1 = 6 permen.
Karena Budi punya 15 permen dan sudah membagikan 6 permen untuk memenuhi syarat mutlak, Budi kini memiliki sisa:
\(15 - 6 = 9 \) permen.
Sekarang, ke-9 permen ini bebas dibagikan ke siapa saja (boleh ada anak yang tidak dapat sisa ini sama sekali).
Persamaan barunya menjadi: \(X_{baru} + Y_{baru} + Z_{baru} = 9 \) dengan syarat semuanya \(\ge 0 \).
Jumlah benda identik \((n) = 9 \)
Jumlah wadah/anak \((k) = 3 \)
Masukkan ke rumus: \(C_{k-1}^{n+k-1} \)
\(C_{3-1}^{9+3-1} = C_{2}^{11} \)
Hitung nilai kombinasinya:
\(C_2^{11} = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \times 10 \times 9!}{2 \times 1 \times 9!} \)
\(= \frac{110}{2} = 55 \) cara.
Super elegan, terstruktur rapi, dan anti-kesalahan. Jawaban yang benar adalah C. 55.